WikiFox

Kvadratrod



Kvadratrødderne af et tal x er de tal t, som tilfredsstiller ligningen t2 = x. Alle ikke-negative, reelle tal x har to reelle kvadratrødder t hvoraf den ene er positiv og den anden er negativ. For eksempel er 2 en kvadratrod af 4 fordi 22 = 4, og -2 er også en kvadratrod af 4 fordi (-2)2 = 4. Den positive kvadratrod af et positivt reelt tal kaldes den principale kvadratrod. Den principale kvadratrod skrives som \({\displaystyle {\sqrt {x}}}\).

Kvadratrodsfunktionen i intervallet [0,9]

Man kan også skrive kvadratrødder som en potens: \({\displaystyle x^{1/2}}\). Derved opnås at regnereglerne for kvadratrod bliver specialtilfælde af potensreglerne.

Indholdsfortegnelse


Den principale kvadratrod af de første 5 naturlige tal

\({\displaystyle {\sqrt {1}}=1}\)
\({\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462}\)
\({\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016909}\)
\({\displaystyle {\sqrt {4}}=2}\)
\({\displaystyle {\sqrt {5}}\approx 2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638}\)


Egenskaber

Funktionen \({\displaystyle f(x)=x^{1/2}}\), har følgende egenskaber:

Definitionsmængden for kvadratrodsfunktionen er defineret for ikke negative reelle tal \({\displaystyle Dm(f)=[0;\infty [}\)

Værdimængden er \({\displaystyle Vm(f)=[0;\infty [}\).

Funktionen er kontinuert, voksende og konkav.

Differentialkvotienten kan ud fra princippet om at kvadratroden er x i en "halvte", beregnes til \({\displaystyle f'(x)={1 \over 2}\cdot x^{-1/2}={1 \over 2{\sqrt {x}}}}\)

Integralet er givet ved \({\displaystyle \int {x^{1/2}}\;{\textrm {d}}x={2 \over 3}x^{3/2}+k={2 \over 3}x{\sqrt {x}}+k,k\in \mathbb {R} \,.}\)


Kvadratrødder af komplekse tal

Inden for de komplekse tal har ligningen ligningen t2 = z altid 2 løsninger når z er forskellig fra nul og der er som udgangspunkt ingen måde at definere en kvadratrod til et være den ene frem for den anden af disse løsninger. Der er f.eks. ingen fornuftig grund til at identificere "kvadratroden af .1 med det komplekse tal i frem for det komplekse tal -i. Hvis \({\displaystyle z=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}\) så har ligningen t2 = z løsningerne

 \({\displaystyle t=\pm |z|^{1/2}\cdot \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}\)

Kvadratrødder kan dog godt defineres som en funktion på et 1-sammenhængende område, som ikke indeholder tallet 0.


Historie

Symbolet \({\displaystyle {\sqrt {}}}\) blev først benyttet i 1500-tallet. Det specielle "rod-symbol", der bruges til kvadratrod er en tillempet udgave af bogstavet r. Det står for det latinske ord radix, som betyder rod.


Se også


Eksterne henvisninger

Commons-logo.svg
Wikimedia Commons har medier relateret til:




Kilde


Oplysninger pr.: 16.10.2021 01:51:44 CEST

Kilde: Wikipedia (Forfattere [Historie])    Licens af teksten: CC-BY-SA-3.0. Ophavsmænd og licenser til de enkelte billeder og medier kan enten findes i billedteksten eller vises ved at klikke på billedet.

Ændringer: Designelementer blev omskrevet. Wikipedia-specifikke links (som "Redlink", "Edit-Links"), kort og navigationsbokse blev fjernet. Også nogle skabeloner. Ikoner er blevet erstattet med andre ikoner eller fjernet. Eksterne links har fået et ekstra ikon.

Bemærk venligst: Da det givne indhold automatisk er hentet fra Wikipedia på det givne tidspunkt, var og er det ikke muligt at foretage en manuel kontrol. WikiFox.org garanterer derfor ikke for nøjagtigheden og aktualiteten af det erhvervede indhold. Hvis der er en information, som er forkert på nuværende tidspunkt eller har en ukorrekt visning, er du velkommen til at kontakte os: e-mail.
Se også: Juridisk meddelelse & Fortrolighedspolitik.