WikiFox

Raaklijn



De raaklijn of tangent aan een kromme in een punt van die kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt die in dat punt dezelfde richting heeft als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt (soms ook tangentpunt). De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

Elke zwarte lijn door P is een benadering van de blauwe raaklijn in P.

De raaklijn L in een punt P van de kromme kan gezien worden als de limietstand van de lijn door P en een ander punt Q van de kromme als het punt Q het raakpunt P nadert. Daaruit blijkt ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Inhoud


Specifiek geval in twee dimensies

Heel algemeen wordt een vlakke kromme gegeven door de coördinaatfuncties \({\displaystyle x(t)}\) en \({\displaystyle y(t)}\), waarbij de parameter \({\displaystyle t}\) een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}))}\) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

\({\displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})}\)

In het betrokken punt is de helling:

\({\displaystyle b=\left.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right|_{t=t_{0}}={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}}\)

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie \({\displaystyle y(x)}\), dan wordt de raaklijn in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\) gegeven door:

\({\displaystyle y_{R}(x)-y_{0}=b(x-x_{0})=y'(x_{0})(x-x_{0})}\)

Voorbeeld 1

Een ellips is voor \({\displaystyle t\in [0,2\pi )}\) gegeven door de coördinaatfuncties

\({\displaystyle x(t)=3\sin(t),\quad y(t)=2\cos(t)}\)

De vergelijking van de raaklijn in een punt \({\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}))}\) aan de ellips is dus:

\({\displaystyle y_{R}(x)=y(t_{0})+b(x-x(t_{0}))=2\cos(t_{0})+b\left(x-3\,\sin(t_{0})\right)}\)

Daarin is:

\({\displaystyle b={\frac {y'(t_{0})}{x'(t_{0})}}=-{\tfrac {2}{3}}\tan(t_{0})}\)

Voorbeeld 2

De raaklijn aan de parabool \({\displaystyle y=x^{2}}\) in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0})}\) wordt gegeven door:

\({\displaystyle y-y_{0}=2x_{0}(x-x_{0})}\)

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt \({\displaystyle (1,1)}\) de lijn:

\({\displaystyle y=2x-1}\)

Afbeelding


Algemeen geval in drie dimensies

Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties \({\displaystyle x(t),y(t)}\) en \({\displaystyle z(t)}\).

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt \({\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})=(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}\), kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

\({\displaystyle (x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))}\)

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

\({\displaystyle X(s)=x_{0}+x'(t_{0})\cdot s}\)
\({\displaystyle Y(s)=y_{0}+y'(t_{0})\cdot s}\)
\({\displaystyle Z(s)=z_{0}+z'(t_{0})\cdot s}\)

Indien de ruimtekromme wordt gegeven als snijlijn van twee oppervlakken met vergelijkingen

\({\displaystyle F(x,y,z)=0}\)
\({\displaystyle G(x,y,z)=0}\)

is de richting van de raaklijn evenwijdig aan het vectorproduct van de gradiënten van deze twee uitdrukkingen:

\({\displaystyle [F'_{x},F'_{y},F'_{z}]\ \times \ [G'_{x},G'_{y},G'_{z}]}\)

Zie ook

  • Eerlijk delen, een techniek om de vergelijking van een raaklijn af te leiden uit de vergelijking van een kegelsnede




Bron


Staat van informatie: 21.11.2021 04:06:20 CET

Bron: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie van de tekst: CC-BY-SA-3.0. Auteurs en licenties van de afzonderlijke afbeeldingen en media zijn te vinden in het bijschrift of kunnen worden getoond door op de afbeelding te klikken.

Veranderingen: Ontwerp-elementen werden herschreven. Wikipedia-specifieke links (zoals "Redlink", "Edit-Links"), kaarten, navigatievakken werden verwijderd. Ook enkele sjablonen. Pictogrammen zijn vervangen door andere pictogrammen of verwijderd. Externe links hebben een extra icoon gekregen.

Belangrijke opmerking Aangezien de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia werd overgenomen, was en is een handmatige controle niet mogelijk. Daarom geeft WikiFox.org geen garantie voor de juistheid en actualiteit van de inhoud. Mochten er intussen onjuistheden in de gegevens voorkomen of fouten in de weergave zijn gemaakt, dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.