WikiFox

Verdelingsfunctie



In de kansrekening en de statistiek is de verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve kansverdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctie (cdf), van een reëelwaardige stochastische variabele de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele beschreven of vastgelegd wordt. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft, kan daarmee de kans op die gebeurtenis bepaald worden. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.

Elke functie die opgevat kan worden als verdelingsfunctie van een stochastische variabele, wordt ook verdelingsfunctie genoemd. Het betreft dan een functie met de hieronder aangeduide eigenschappen.

Inhoud


Definitie

De verdelingsfunctie van de stochastische variabele \({\displaystyle X}\) op de kansruimte \({\displaystyle (S,\Sigma ,P)}\), is de functie \({\displaystyle F_{X}}\), gedefinieerd voor \({\displaystyle x\in \mathbb {R} }\) door:

\({\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(\{s\in S|X(s)\leq x\})}\)

(Let op het verschil tussen \({\displaystyle X}\) en \({\displaystyle x}\).)

De waarde \({\displaystyle F_{X}(x)}\) van de verdelingsfunctie van \({\displaystyle X}\) in het punt \({\displaystyle x}\), is dus de (cumulatieve) kans op waarden van \({\displaystyle X}\) kleiner dan of gelijk aan \({\displaystyle x}\).


Eigenschappen

Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende, rechtscontinue functie \({\displaystyle F}\) met domein \({\displaystyle \mathbb {R} }\) en bereik \({\displaystyle [0,1]}\), waarvoor geldt:

\({\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}\)

en

\({\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1}\)

Rechtscontinu betekent:

\({\displaystyle \lim _{x\downarrow a}F(x)=F(a)}\)

Monotoon stijgend betekent:

\({\displaystyle x<y\Rightarrow F(x)\leq F(y)}\)


De verdelingsfunctie \({\displaystyle F_{X}}\) en de verdeling \({\displaystyle P_{X}}\) van een stochastische variabele \({\displaystyle X}\) zijn eeneenduidig met elkaar verbonden door de relatie:

\({\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])}\)

Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is ze de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. In het algemeen garandeert de Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue (zie wederzijds singuliere maten) dat de verdeling de som is van een absoluut continu en een singulier gedeelte.

Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie getabelleerd is. Uit zo'n tabel kan men dus eenvoudig van die verdeling de linker overschrijdingskans aflezen.


Voorbeeld

Een willekeurig getal \({\displaystyle X}\) tussen 0 en 1 wordt beschreven door de kansdichtheid:

\({\displaystyle f_{X}(x)=1}\) voor \({\displaystyle x\in (0,1)}\) en 0 elders.

De bijbehorende verdelingsfunctie is:

\({\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{als }}x\leq 0\\\,x&{\mbox{als }}0<x\leq 1\\1&{\mbox{als }}x>1\end{cases}}}\)

Om de kans te bepalen dat \({\displaystyle X}\) tussen 0,33 en 0,44 ligt, berekenen we:

\({\displaystyle P(0{,}33<X<0{,}44)=P(X<0{,}44)-P(X<0{,}33)=F_{X}(0{,}44)-F_{X}(0{,}33)=0{,}44-0{,}33=0{,}11}\)

Zie ook





Bron


Staat van informatie: 20.11.2021 08:27:29 CET

Bron: Wikipedia (Auteurs [Geschiedenis])    Licentie van de tekst: CC-BY-SA-3.0. Auteurs en licenties van de afzonderlijke afbeeldingen en media zijn te vinden in het bijschrift of kunnen worden getoond door op de afbeelding te klikken.

Veranderingen: Ontwerp-elementen werden herschreven. Wikipedia-specifieke links (zoals "Redlink", "Edit-Links"), kaarten, navigatievakken werden verwijderd. Ook enkele sjablonen. Pictogrammen zijn vervangen door andere pictogrammen of verwijderd. Externe links hebben een extra icoon gekregen.

Belangrijke opmerking Aangezien de gegeven inhoud op het gegeven moment automatisch van Wikipedia werd overgenomen, was en is een handmatige controle niet mogelijk. Daarom geeft WikiFox.org geen garantie voor de juistheid en actualiteit van de inhoud. Mochten er intussen onjuistheden in de gegevens voorkomen of fouten in de weergave zijn gemaakt, dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen: E-mail.
Zie ook: Afdruk & Privacy policy.