WikiFox

Twierdzenie Kroneckera-Capellego



Spis treści

Twierdzenie Kroneckera-Capellego[a]twierdzenie algebry liniowej dające kryterium istnienia rozwiązań układu równań liniowych i umożliwiające ich klasyfikację (która, opisana w niniejszym artykule jako „wniosek”, jest często przytaczana w samym twierdzeniu); stanowi ono uogólnienie opisu rozwiązań układu równań liniowych jednorodnych zawartego w twierdzeniu o rzędzie na przypadek niejednorodny.

Jako pierwszy miał je udowodnić Georges Fontené (co zaznaczył w swoim piśmie do Nouvelles Annales de Mathématiques z listopada 1875 roku)[1], przed Eugènem Rouchém, który opublikował wcześniej w 1875 roku pierwszą wersję twierdzenia[2], a następnie pełniejszą w 1880 roku[3]. Gdy Ferdinand Georg Frobenius powoływał się na to twierdzenie w swoich pracach[4], przypisywał je Rouchému i Fontenému. Alfredo Capelli miał być pierwszym, który wyraził to twierdzenie w języku macierzy (za pomocą pojęcia rzędu)[5]. Wersja Leopolda Kroneckera pojawiła się w jego wykładach o teorii wyznaczników[6].

Polska nazwa twierdzenia (stosowana również m.in. w Rosji) nosi nazwiska Kroneckera i Capellego, choć we Włoszech przypisuje się je Rouchému i Capellemu, a we Francji wynik ten nazywa się twierdzeniem Rouchégo-Fontenégo; w Hiszpanii znane jest ono jako twierdzenie Rouchégo-Frobeniusa, najprawdopodobniej za sprawą hiszpańsko-argentyńskiego matematyka Julia Reya Pastora, który określał je w ten sposób.


Twierdzenie

Niech dany będzie układ równań liniowych \({\displaystyle \mathbf {AX} =\mathbf {B} ,}\) gdzie rząd macierzy \({\displaystyle \mathbf {A} }\) typu \({\displaystyle m\times n}\) (co oznacza, że \({\displaystyle n}\) jest liczbą niewiadomych, a \({\displaystyle m}\) określa liczbę równań) wynosi \({\displaystyle r,}\) z macierzą rozszerzoną \({\displaystyle \mathbf {U} =[\mathbf {A} |\mathbf {B} ]}\) rzędu \({\displaystyle s.}\) Układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \({\displaystyle r=s.}\)

Wniosek

Ponieważ zbiór rozwiązań układu zależy od \({\displaystyle n-r}\) parametrów w sposób afiniczny (tworzy przestrzeń afiniczną tego wymiaru), to w przypadku \({\displaystyle r=s=n}\) rozwiązanie układu wyznaczone jest jednoznacznie (zerowymiarowa przestrzeń opisuje punkt). Jeśli układ jest jednorodny, to zbiór rozwiązań zależy od \({\displaystyle n-r}\) parametrów w sposób liniowy (tworzy przestrzeń liniową tego wymiaru) i wtedy jednoznaczność rozwiązania oznacza jego trywialność, tj. \({\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {0} .}\)


Dowód

Niech \({\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}}\) będą wektorami odpowiadającymi kolejnym kolumnom macierzy \({\displaystyle \mathbf {A} ,}\) zaś wektorom kolumnowym \({\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {B} }\) odpowiadają wektory \({\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}\) oraz \({\displaystyle \mathbf {b} .}\) Wektor \({\displaystyle \mathbf {x} }\) jest rozwiązaniem układu wtedy i tylko wtedy, gdy \({\displaystyle x_{1}\mathbf {a} _{1}+\dots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\mathbf {b} ,}\) co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy \({\displaystyle \mathbf {b} }\) należy do powłoki liniowej \({\displaystyle \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}),}\) co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar tej powłoki nie zwiększa się po dodaniu do niej wektora \({\displaystyle \mathbf {b} ,}\) tj. \({\displaystyle \dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})=\dim \mathrm {lin} (\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n},\mathbf {b} ).}\) Wynika stąd, że przestrzeń wektorów kolumnowych macierzy \({\displaystyle \mathbf {A} }\) oraz \({\displaystyle \mathbf {U} }\) mają równe wymiary, co oznacza równość rzędów tych macierzy.


Zobacz też


Uwagi

  1. Spotykana forma nazwiska Cappellego, mianowicie „Capelliego” jest błędna, co wyjaśnia Słownik ortograficzny języka polskiego wraz z zasadami pisowni i interpunkcji (wydany w 1981 przez PWN) na stronie 137.

Przypisy

  1. Dot. pracy „Twierdzenie do rozważań o układzie \({\displaystyle n}\) równań pierwszego rzędu o \({\displaystyle n}\) niewiadomych”, Théorème pour la discussion d’un système de \({\displaystyle n}\) équations du premier degré à \({\displaystyle n}\) inconnues. „Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale”. 2 (14), s. 481–487, 1875.
  2. W pracy Sur la discussion des equations du premier degré („O rozważaniu równań pierwszego stopnia”) w Comptes rendus de l’Académie des sciences (tom 81, s. 1050).
  3. Praca Note sur les équations linéaires w Journal de l’École polytechnique.
  4. Np. Zur Theorie der linearen Gleichungen wydanej w 1905 roku w piśmie Journal für die reine und angewandte Mathematik.
  5. W swej pracy Sopra la compatibilitá o incompatibilitá di più equazioni di primo grado fra picì incognite z 1892 roku wydanej w Revista di Matematica (tom 2, s. 54–58).
  6. Prowadzonych na Uniwersytecie Berlińskim w latach 1883–1891, wydanych w Lipsku w 1903 roku pt. Vorlesungen über die Theorie der Determinanten.

Bibliografia





Źródło


Informacje na dzień: 08.10.2021 11:06:00 CEST

Źródło: Wikipedia (Autorzy [Historia])    Licencja na tekst: CC-BY-SA-3.0. Twórców i licencje poszczególnych zdjęć i mediów można znaleźć w podpisie lub wyświetlić klikając na zdjęcie.

Zmiany: Elementy wyglądu zostały przeredagowane. Linki specyficzne dla Wikipedii (jak "Redlink", "Edit-Links"), mapy, pola nawigacyjne zostały usunięte. Również niektóre szablony. Ikony zostały zastąpione innymi ikonami lub usunięte. Linki zewnętrzne otrzymały dodatkową ikonę.

Proszę zanotować: Ponieważ dana treść jest automatycznie pobierana z Wikipedii w danym momencie, ręczna weryfikacja nie była i nie jest możliwa. W związku z tym WikiFox.org nie gwarantuje dokładności i aktualności pobranych treści. Jeśli któraś z informacji jest błędna lub ma niedokładne wyświetlanie, prosimy o kontakt: e-mail.
Zobacz też: Nota prawna & Polityka prywatności.