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Hiperplano



Um hiperplano é um conceito em geometria. Ele é a generalização do plano em diferentes números de dimensões.

Na geometria, um hiperplano pode ser um espaço vetorial, transformação afim ou o sub-espaço de dimensão n-1. Em particular, num espaço tridimensional um hiperplano é um plano habitual. Num espaço bidimensional, um hiperplano é uma reta. Num espaço unidimensional, um hiperplano é um ponto.

Denomina-se hiperplano em \({\displaystyle \chi }\) (por exemplo, \({\displaystyle \chi =\mathbb {R} ^{N}}\)) um conjunto de elementos tais que

\({\displaystyle H=\left[x\in \chi :p^{T}\cdot x=b\right]}\)

, sendo \({\displaystyle p}\) um vetor não-nulo normal a \({\displaystyle H}\) e também percence a \({\displaystyle \chi }\), e \({\displaystyle b}\) pertence ao conjunto dos números reais.[1]

Um hiperplano é um espaço vetorial se \({\displaystyle b=0}\)

Índice

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Hiperplano nos números reais

Um hiperplano em \({\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}\) é calculado tendo as coordenadas do ponto, em \({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}\) tendo as coordenadas de um ponto qualquer da reta e sua direção, sendo essa direção tanto em coordenadas polares (em função ângulo agudo formado com o eixo \({\displaystyle x}\)) ou tanto como vetorial. Em \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) é possível calcular tendo um ponto do plano e o vetor normal a ele, sendo este composto pelos coeficientes de \({\displaystyle x}\), \({\displaystyle y}\) e \({\displaystyle z}\), respectivamente.

Exemplo

\({\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}\)

P = \({\displaystyle (x_{o},y_{o},z_{o})}\)
P = \({\displaystyle (1,0,3)}\)

\({\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}\)

r: \({\displaystyle x=x_{o}+at}\)                        vetor diretor \({\displaystyle (a,b,c)}\)
   \({\displaystyle y=y_{o}+bt}\)                        ponto arbitrário \({\displaystyle (x_{o},y_{o},z_{o})}\)
   \({\displaystyle z=z_{o}+ct}\)
r: \({\displaystyle x=2+3t}\)
   \({\displaystyle y=3+4t}\)
   \({\displaystyle z=2t}\)
O ponto escolhido no exemplo foi P = \({\displaystyle (2,3,0)}\) e o vetor foi \({\displaystyle v=(3,4,2)}\)

\({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\) \({\displaystyle ax+by+cz+d=0}\) \({\displaystyle vetornormal=(a,b,c)}\) \({\displaystyle 2x+3y-z=15}\) Vetor normal ao plano \({\displaystyle v=(2,3,-1)}\).

Propriedades

  • Um hiperplano em um espaço de dimensão \({\displaystyle n}\) é um conjunto afim com dimensão \({\displaystyle n-1}\).
  • Um hiperplano divide o espaço em dois semi-espaços fechados e convexos, mas não afins[1]
  • Um hiperplano pode ser descrito por uma equação linear não degenerada na seguinte forma:
\({\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b\,\!}\)

Referências

  1. a b PALHARES, Reinaldo M. Fund. Controle Robusto via Otimização – Bloco 2. Disponível em: <http://www.cpdee.ufmg.br/~palhares/bloco2_ftcr.pdf >. Acesso em: 30 de junho de 2011.
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Fonte


Data da informação: 01.05.2022 01:17:49 CEST

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