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Multiplicação



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Na matemática, a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.[1] Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.[2]

\({\displaystyle x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

\({\displaystyle 3\times 5=5+5+5=15}\).

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Índice

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Propriedades

  • Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto da operação. Assim, se \({\displaystyle x\times y=z}\), logo \({\displaystyle y\times x=z}\). Por exemplo: \({\displaystyle 5\times 4=4\times 5=20}\).
  • Associativa: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se \({\displaystyle (x\times y)\times z=w}\), logo \({\displaystyle x\times (y\times z)=w}\). Por exemplo: \({\displaystyle (2\times 3)\times 4=2\times (3\times 4)=24}\).
  • Distributiva: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, \({\displaystyle x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}\).
  • Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, \({\displaystyle x\times 1=1\times x=x}\).
  • Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

\({\displaystyle x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle x\times y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+x-x}\)

\({\displaystyle =x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-1)+(y-1)+\cdots +(y-1)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle =x+x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-2)+(y-2)+\cdots +(y-2)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-n)+(y-n)+\cdots +(y-n)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

Tomando \({\displaystyle n=y,}\) temos:

\({\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-y)+(y-y)+\cdots +(y-y)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle =y\times x}\)

Distributividade da multiplicação de números naturais:

\({\displaystyle x\times (y+z)={\begin{matrix}\underbrace {(y+z)+(y+z)+\cdots +(y+z)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {z+z+z+\cdots +z} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}\)

\({\displaystyle =x\times y+x\times z}\)

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam "5 vezes 2":

\({\displaystyle 5\times 2}\)
\({\displaystyle 5\cdot 2}\)
\({\displaystyle (5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]}\)
\({\displaystyle 5*2}\)

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

\({\displaystyle 5x}\) e \({\displaystyle xy.}\)

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como \({\displaystyle 1\times 2\times \ldots \times 99\times 100}\). Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como \({\displaystyle {\displaystyle 1\times 2\times \dots \times 99\times 100}}\).

De forma alternativa, assim como na adição, o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto chamado produtório Π, que é a letra pi maiúscula do alfabeto grego.

Isto é definido como:

\({\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\times x_{m+1}\times x_{m+2}\times \cdots \times x_{n-1}\times x_{n}}\)

O subscrito é uma variável muda (\({\displaystyle i}\) no nosso caso), o limite inferior é (\({\displaystyle m}\)) e o limite superior é \({\displaystyle n.}\)

Assim por exemplo:

\({\displaystyle \prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\times \left(1+{1 \over 3}\right)\times \left(1+{1 \over 4}\right)\times \left(1+{1 \over 5}\right)\times \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}}\)

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima pelo símbolo para infinito (\({\displaystyle \infty }\)). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos \({\displaystyle n}\) primeiros termos, quando \({\displaystyle n}\) cresce sem limite. Isto é:

\({\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}\)

Podemos de forma semelhante substituir \({\displaystyle m}\) por infinito negativo, e

\({\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\times \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right)}\)

para algum inteiro \({\displaystyle m,}\) desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 3 indeterminações:

  • \({\displaystyle (\pm {\infty })\div (\pm \infty )}\)
  • \({\displaystyle 0\div 0}\)
  • \({\displaystyle 0\times \infty }\)

Notas e referências

  1. Perides Moisés, Roberto; Castro Lima, Luciano. «Multiplicação: Como funciona e quando utilizar» . UOL Educação. Consultado em 02 de maio de 2014 Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  2. «NOVA ESCOLA - PLANO DE AULA - Multiplicação mental» . Consultado em 18 de maio de 2009. Arquivado do original em 5 de abril de 2009



Fonte


Data da informação: 22.05.2022 05:19:04 CEST

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